Calcular a distância do ponto à origem do sistema cartesiano.
Calcular a distância entre os pontos e .
Calcular o perímetro do triângulo ABC, sendo dados A(2,1) , B(-1,3) , e C(4,-2) .
Provar que o triângulo cujos vértices são A(2,2) , B(-4,-6) , e C(4,-12) é um triângulo retângulo.
Basta verificar que as medidas dos lados estão de acordo com o Teorema de Pitágoras.
Determinar x de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B . São dados : A(4,5), B(1,1) e C(x,4).
(MACKENZIE - 1973) A representação gráfica do conjunto de pontos tais que é:
a) b) c) d) e)
(B)
Localizar e rotular no plano cartesiano os pontos A (0 , -3) , B (3 , -4) , C (5 , 6) , D (-2 , -5) e E (-3 , 5) .
(ITA - 1973) Sejaa projeção do diâmetro de um círculo de raio sobre a reta tangente por um ponto deste círculo. Seja a razão da área total do tronco do cone gerado pela rotação do trapézio ao redor da reta tangente e área do círculo dado. Qual é o valor de para que a medida do segmento seja igual à metade do raio ?
a) b) c) d) e) nenhuma das respostas anteriores
(B)
(V. UNIF. RS - 1980) Na figura, é um arco de uma circunferência de raio 1 . A área do trapézio retângulo é:
a) b) c) d) e)
(A)
(ITA - 2004) Sejam os pontos , e .
a) Determine a equação da cirunferência , cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos e e é tangente ao eixo . b) Determine as equações das retas tangentes à circunferência que passam pelo ponto .
Resolução:
a)
Seja o centro da circunferência no primeiro quadrante. Na figura, passa pelos pontos e , tangenciando o eixo . possui coordenadas (3,m) e é raio da circunferência, portanto mede 3.. O ponto , centro da circunferência , tem coordenadas , e a equação da circunferência é
b)
A equação do feixe de retas não verticais concorrentes em , e coeficiente angular : . A reta vertical que contém corta a circunferência em 2 pontos. A distância entre as tangentes e o centro é igual a 3, ou seja:
ou . As equações das tangentes são:
e
Dar as coordenadas das projeções dos pontos A(2 ; -3) , B(3 ; -1) , C(-5 ; 1) , D(-3 ; -2) , E(-5 ; -1) , sobre os eixos cartesianos.
Resolução: Para um ponto , vamos chamar de e as projeções do ponto respectivamente sobre o eixo das abscissas (x) e sobre o eixo das ordenadas (y).
Resposta:
(PUCC) Dada a função , se for um número inteiro maior que 1, assinale, dentre os gráficos abaixo, o que melhor a representa: a) b) c) d) e)
(A)
Dar as coordenadas dos pontos simétricos aos pontos A(-1 , 2) ; B(3 , -1) ; C(-2 , -2) ; D(-2 , 5) ; E(3 , -5) em relação ao eixo das ordenadas.
Resolução: Para um ponto existe o ponto , simétrico a em relação ao eixo das ordenadas, conforme a figura:
Observando a figura acima, podemos concluir:
Resposta:
Determinar em que quadrante pode estar situado o ponto P(x , y) se:
a) b) c) d)
Resolução:
a) se então teremos as duas possibilidades: 1ª. possibilidade: x > 0 e y > 0 ⇒ P(x,y) ∈ 1º QUADRANTE 2ª. possibilidade: x < 0 e y < 0 ⇒ P(x,y) ∈ 3º QUADRANTE
b) se então teremos as duas possibilidades: 1ª. possibilidade: x > 0 e y < 0 ⇒ P(x,y) ∈ 4º QUADRANTE 2ª. possibilidade: x < 0 e y > 0 ⇒ P(x,y) ∈ 2º QUADRANTE
c) se x - y = 0 ⇒ x = y ⇒
d) se
Representar no sistema de eixos cartesianos ortogonais os pontos: A (3 ; 4), B (-1 ; 2), C (-3 ; -4), D (4 ; -2), E (3 ; 0), F (0 ; -3) e G (0 ; 0).
(MACKENZIE) Os pontos A (0 , 0) e B (1 , 0) são vértices de um triângulo equilátero ABC , situado no QUADRANTE. O vértice C é dado por:
a) b) c) d) e) nenhuma das alternativas anteriores
(B)
Para um sistema de coordenadas ortogonais, estão certas as seguintes afirmações:
( 1 ) Pontos com abscissa nula estão no eixo 0x ( 2 ) A distância do ponto (-3 ; 5) aoeixo Oy é 3. ( 3 ) A distância entre os pontos A (-2 ; 4) e B (8 ; 4) vale 10. ( 4 ) A distância entre os pontos A (1 ; 5) e B (-3 ; 2) vale 5. ( 5 ) Os pontos da bissetriz dos quadrantes pares têm abscissa e ordenada iguais.
Estão corretas 2, 3 e 4
Dadas as coordenadas dos pontos:
A (4 ; 3) D (2 ; -3) G (-6 ; -4) B (5 ; 0) E (-4 ; 2) C (0 ; 4) F (0 ; 0)
Achar as distâncias entre os pontos em cada um dos seguintes pares: A e B B e E C e G A e C B e F D e E A e D C e D E e F
(MACKENZIE) Considere a figura abaixo. O comprimento do segmento é:
a) b) c) d) e)
(E)
(USP) Uma das diagonais de um quadrado tem extremidades A ( 1 ; 1 ) e C ( 3 ; 3 ) . As coordenadas dos outros dois vértices são:
a) ( 2 ; 3 ) e ( 3 ; 2 ) b) ( 3 ; 1 ) e ( 1 ; 3 ) c) ( 3 ; 0 ) e ( 1 ; 4 ) d) ( 5 ; 2 ) e ( 4 ; 1 ) e) nenhuma das anteriores
(B)
Seja P ( x ; y ) o ponto simétrico do ponto A ( 1 ; 1 ) em relação à reta que passa pelos pontos B ( 4 ; 1 ) e C ( 1 ; 4 ) . Então x + y é igual a:
a) 4b) 8 c) 6d) 10e) 12
(B)
(CESCEM) Determinar o ponto D no paralelogramo abaixo:
(FGV) Sabendo que o é um triângulo retângulo em , calcular as coordenadas do vértice .
a) b) c) d) e) nenhuma das anteriores
(C)
(MACKENZIE) Na figura, a equação da reta é:
a) 2x - 3y - 1 = 0 b) x - y - 1 = 0 c) 4x - 5y - 3 = 0 d) 4x - 3y - 5 = 0 e) 3x - 2y - 4 = 0
(B)
(ABC) A reta da figura tem por equação:
a) x - 2y - 2 = 0 b) x + 2y - 2 = 0 c) y = 2x + 1 d) x = 27 + 1 e) nenhuma das anteriores
(A)
(SANTA CASA) O gráfico que melhor representa a relação é: a) b) c) d) e)
(C)
(MACKENZIE) Observe a figura. Pertence à reta r o ponto:
a) b) c) d) e)
(A)
Determine a equação da circunferência cujo centro coincide com a origem do sistema cartesiano e cujo raio mede 3 unidades.
Resolução: A equação da circunferência de centro e raio é: . Como e , temos:
Determinar a equação da circunferência que passa pela origem do sistema cartesiano e cujo centro é o ponto de coordenadas (4 , -3) .
Resolução:
O raio da circunferência é a distância do centro até a origem: A equação da circunferência de centro e raio é: Sabemos que o centro é e raio . Temos então:
Determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto A (-1 , 6) e tangencia o eixo dos "y" no ponto B (0 , 3) .
Resolução: Sendo o centro da circunferência o ponto C (x , 3) conforme a figura:
Sendo e raios da mesma circunferência, são segmentos de medidas iguais: Elevando ao quadrado, simplificando, temos: Então o centro é e o raio é e a equação da circunferência:Resposta:
Os vértices de um triângulo são: A (-3 , 6) ; B (9 , -10) e C (-5 , 4). Determinar o centro e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
Considerações:
A distância entre dois pontos no plano cartesiano é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados da diferença entre as coordenadas respectivas dos pontos dados.
Resolução:
Vejamos o rascunho ao lado, onde o centro da circunferência é O (x , y) . Os segmentos , e são raios da circunferência e têm medidas iguais a R . Passo 1. Passo 2. Passo 3. O próximo passo é resolver o sistema de duas equações (I) e (II): Sabemos então que o centro tem coordenadas (3 , -2) , então vamos calcular a medida do raio: Resposta:
(ITA - 1990) Considere a região do plano cartesiano x0y definida pelas desigualdades e . O volume do sólido gerado pela rotação desta região em torno do eixo é igual a:
a) b) c) d) e) n.d.a.
(B)
(FUVEST - 2015) A equação , em que e são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto . Os valores de e são, respectivamente
a) -4 e 3 b) 4 e 5 c) -4 e 2 d) -2 e 4 e) 2 e 3
(A)
(MAPOFEI - 1970) Pelo ponto de coordenadas cartesianas ortogonais ; , com passam duas retas e paralelas aos eixos coordenados (ver figura)
a) Determinar as coordenadas das intersecções de e com a circunferência . b) Determinar a equação da reta , onde é o ponto médio do segmento .
c) Demonstrar analiticamente que as retas e são perpendiculares.
a) , , b) c) basta provar que o produto dos coeficientes angulares de e é igual a -1.
(FUVEST - 1977) Determine a intersecção das curvas de dadas por e
(MAPOFEI - 1973) O ponto P = (2; 4) é o centro de um feixe de retas no plano cartesiano. Pede-se determinar as equações das retas desse feixe, perpendiculares entre si, que interceptam o eixo 0x nos pontos A e B , e tais que a distância entre eles seja 10 .
(r) 2x - y = 0 e (s) x + 27 - 10 = 0 (r) x - 2y + 6 = 0 e (s) 2x + y - 8 = 0